Развёртки многогранников

dodekaedr razvertka dlya skleivaniya 4 – Развёртки многогранников

Из истории додекаэдра

Каждый, кто учился в школе, изучал геометрию, кто-то ее любил, а кто-то не очень, а кому-то только предстоит познакомиться с этой наукой. И, конечно же, всем задавали нарисовать или собрать различные геометрические фигуры, а потом оценивали лучшую работу. Но, к сожалению не все учителя рассказывают о происхождении геометрических фигур, для чего они нужны, какое значение имеют и где применяются. А у фигур очень богатая история, они важны так же, как и любые открытия в нашем мире. А встречаются они повсюду, просто мы не всегда их замечаем. Сегодня мы расскажем вам о додекаэдре.

Слово додекаэдр имеет греческое происхождение и состоит из 2 слов: dodeka (двенадцать) и hedra (грань). Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин, в каждой из которых сходиться 3 ребра и 30 рёбер. Сумма плоских углов равна 324°. Это двенадцатигранник, который составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Додекаэдр правильный многогранник, он имеет три звездчатые формы.

О додекаэдре было известно уже в древние времена. Например, ученикам Пифагорейской школы запрещалось произносить это слово за пределами школы, так как за это они могли лишиться жизни. К этой фигуре относились как к святой фигуре, о ней даже боялись что-либо сказать. Лишь спустя двести лет, во времена Платона, об этой фигуре начали очень осторожно говорить. Запрещено было произносить что-то лишнее, тем более оскорбительное или пренебрежительное. Верили в то, что додекаэдр находится в энергетическом поле людей и является высшей формой сознания человека. К тому же считалось, что люди живут внутри огромного додекаэдра, в котором расположена наша вселенная и когда ум человека достигает самого предела пространства Космоса, он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере.

Читайте также:  Теплица своими руками - от планирования до отопления и освещения

Что понадобиться, чтобы сделать додекаэдр своими руками

Чтобы собрать додекаэдр из бумаги или картона.

Нужно подготовить все необходимые материалы и инструменты:

  • картон для детского творчества;
  • бумага или крепкий гофрированный картон (можно вырезать лист из коробки для переезда или из упаковки бытовой техники);
  • простой карандаш;
  • линейка;
  • циркуль;
  • ножницы, канцелярский нож;
  • клей карандаш или клей «Момент».

dodekaedr razvertka dlya skleivaniya 2 – Развёртки многогранников

Бумага, на которую будет перенесен чертеж, должна быть плотной. Можно использовать альбомные листы, акварельные или бумагу для принтера. Листы, плотность которых меньше 80 г/кв. м., не подходят для работы, так как фигура, сделанная из них, получится хлипкой, не будет держать форму.

Как сделать из бумаги А4

Создание бумажного додекаэдра проходит в 6 этапов:

  • определение размера;
  • создание шаблона 1 грани для удобства построения чертежа;
  • составление развертки;
  • вырезание готовой схемы;
  • формирование линий, по которым будет согнута бумага;
  • склеивание фигуры.

dodekaedr razvertka dlya skleivaniya 3 – Развёртки многогранников

Склеить грани между собой можно с помощью клея карандаша или ПВА. Желательно, чтобы жидкий клей был во флаконе с дозатором. Так его будет удобнее наносить. Для изделий, выполненных их толстого картона нужен клей, который быстро застывает, чтобы не пришлось долго держать фигуру в руках в ожидании склейки. Можно заменить клей тонким двухсторонним скотчем.

Не рекомендуется использовать горячий клей. Он слишком объемный. Между припусками для склеивания и стенками фигуры образуются мелкие щели. Поделка получится неровной и будет выглядеть непривлекательно.

Расчет размера

Додекаэдр (развертка для склеивания которого в полном объеме не поместится на 1 листе бумаги формата А4) выполняется из 2 листов. Если пытаться сделать фигуру из 1 листа, то она получится очень миниатюрной, и склеить части такой поделки букет очень сложно.

Чтобы построить чертеж 1 грани, нужно начертить окружность. Её оптимальный размер – 5 см. Половина развертки с гранями такого размера четко впишется на 1 лист бумаги. Если хочется сделать фигуру больше, то необходимо учесть, что на развертке должны быть припуски для склеивания. Минимальная ширина каждого пропуска – 5 мм.

Подготовка шаблона из картона

Додекаэдр (развертка для склеивания будет состоять из 2 частей, по 6 граней в каждой) из бумаги можно сделать, используя только 1 шаблон в виде правильного пятиугольника.

Как восполнить чертеж 1 грани:

  1. На листе тонкого картона, с помощью циркуля начертить окружность. Её диаметр – 5 см.
  2. Найти центр круга. Провести через эту точку 1 вертикальную и 1 горизонтальную линию.
  3. Внутри круга, от горизонтальной линии отступить 1 см. Поставить отметку на границе верхнего левого сектора круга. Назвать точку буквой «А».
  4. По аналогии поставить отметку на верхней правой части круга. Назвать точку буквой «В».
  5. Найти верхушку фигуры. Это место пересечения вертикальной линии и границы окружности. Назвать точку буквой «С».
  6. От центра круга отступить вниз 2,5 см.
  7. Провести горизонтальную черту 3 см длиной. Вертикальная черта внутри круга должна разделить новую линию пополам. То есть, с каждой стороны должно остаться по 1,5 см.
  8. Концы новой горизонтальной линии назвать точками «Е» и «Д».
  9. Соединить точку «Е» с точкой «А».
  10. Соединить отметку «А» с вершиной фигуры «С».
  11. От точки «С» провести линию до точки «В».
  12. Соединить точку «В» с отметкой «Д».

dodekaedr razvertka dlya skleivaniya 4 – Развёртки многогранников

В конце нужно проверить, равны ли стороны пятиугольника. Если эти показатели в порядке, то заготовку можно вырезать ножницами.

Построение развертки, чертежи

Додекаэдр (развертка для склеивания строится в центре листа) можно собрать из 2 чертежей.

Как сделать 1 часть развертки, с помощью шаблона из картона:

  1. Расположить на бумаге шаблон вершиной вверх.
  2. Обвести заготовку по контуру.
  3. Развернуть картонный шаблон боком. Соединить правую сторону фигуры с левой стороной уже начерченной формы. Обвести картонный шаблон по контуру.
  4. Переместить шаблон к верхней левой стороне центральной фигуры. Обвести заготовку по контуру.
  5. Снова переместить шаблон, расположив его боковой стороной к правой верхней стороне центральной фигуры. Обвести заготовку по контуру.
  6. Совместить боковую сторону шаблона с правой стороной центрального пятиугольника. Обвести шаблон по контуру.
  7. Дорисовать последнюю грань по аналогии.
  8. Добавить припуски для склеивания. На верхних частях развертки эти припуски должны располагаться с левой стороны, а на нижних частях развертки – с правой стороны.
  9. Края всех припусков на швы должны быть скошенными.
  10. Па аналогии нужно сделать ещё 1 развёртку на 2 листе бумаги.

dodekaedr razvertka dlya skleivaniya 5 – Развёртки многогранниковДодекаэдр. Развертка для склеивания

Вырезать обе фигуры по контуру.

Работа с готовой формой, склеивание

Как собрать додекаэдр:

  1. Чтобы бумага легко складывалась, нужно продавить все линии сгиба, вокруг центральной фигуры. Для этой цели можно использовать ребро линейки или обратную сторону ножниц.
  2. Подогнуть все припуски на склеивания внутрь.
  3. В собранном виде каждая развертка должна напоминать полусферу с гранями. Клей нужно наносить на припуски для склеивания, а затем аккуратно соединять их с гранями фигуры. Линии сгиба на «ушках» для склеивания должна совпасть с краем грани.
  4. Собрать 2 развёртки по отдельности.
  5. Склеить половинки додекаэдра. Дождаться высыхания клея.

Можно украсить готовый додекаэдр цветной бумагой или наклеить на грани фотографии, либо листы календаря.

Большой додекаэдр из картона

Додекаэдр (развертка для склеивания может быть сделана по шаблону, так же как для создания фигуры из бумаги) из картона может быть любого размера. Чертеж развертки также следует выполнить в 2 частях.

Додекаэдр. Развертка для склеивания, распечатки а4, шаблоны

Какой картон подходит для работы:

  • Цветной (детский). Хороший вариант для создания додекаэдра с гранью, высота которой не будет превышать 5 см. Детский картон тонкий, поэтому сделать большую фигуру будет очень сложно. Придется вырезать все грани по отдельности и чертить на них дополнительные припуски для склеивания.
  • Полиграфический. Более плотный материал, который используют в печати. Из такого картона делают обложки книг и ежедневников, а также упаковки для небольших товаров. Его используют для создания твердого переплета книг и блокнотов, а также для упаковки мелкого товара. Додекаэдр, сделанный из такого картона, может быть любого размера. Он получится крепким и устойчивым.
  • Упаковочный. Толстый картон с гофрированной текстурой, состоящий из нескольких слоев. Из такого материала можно делать большие фигуры, которые позже могут быть использованы для украшения домашнего интерьера, или послужить декоративным объектом для фотостудии.

Додекаэдр. Развертка для склеивания, распечатки а4, шаблоныКартон детский, цветной

Обычно упаковочный и полиграфический картон имеют коричневый цвет. Готовую фигуру, сделанную из такого материала можно покрасить или обклеить красивой бумагой.

Особенности работы с жестким картоном

Упаковочный и полиграфический картон – жесткий материал, с которым тяжело работать.

Чтобы сделать аккуратный додекаэдр, нужно знать несколько хитростей:

  • Чертеж строят прямо на картоне. Чтобы не допускать ошибок при построении чертежа, нужно использовать длинную линейку (30 и более см). С инструментом меньшего размера легко сбиться и начертить неровную развертку, по которой не получится собрать фигуру правильно.
  • Плотный картон следует резать канцелярским ножом. Ножницами резать такой материал неудобно, так как придется давить на инструмент с большой силой. Велика вероятность того, что рука может соскользнуть с ручки ножниц. Так можно пораниться или испортить ровный срез.
  • Упаковочный и полиграфический картон тяжело согнуть и продавить. Чтобы детали легко сгибались, все линии сгиба нужно очень аккуратно надрезать канцелярским ножом делая разрезы в виде пунктира. Резать нужно не до конца. Достаточно сделать надрезы только на 1 из слоев картона, с внутренней стороны фигуры.
  • После вырезания нужно срезать все заусенцы и убрать неровности на картоне.
  • Закреплять припуски для склеивания нужно поочередно. Клей следует наносить на всю полосу толстым слоем, а затем салфеткой убрать излишки клея.
  • Картон должен быть ровным. Перед работой нужно убедиться, что лист не был согнут или порван. Лишние заломы и разрывы испортят внешний вид фигуры. В некоторых случаях эти дефекты способны нарушить целостность и симметричность конструкции.
  • Не рекомендуется использовать для работы картон с глянцевой поверхностью. Такой материал тяжело склеить. Придется долго ждать высыхания клея.
  • Окрашивать готовое изделие нужно после полного высыхания клея. Жидкость может попасть на не высохший клей и разбавить его. Клей потеряет вязкость и не соединит детали должным образом.
  • На однослойном картоне ненужно делать надрезы на линиях сгиба. Лучше продавить их обратной стороной ножниц или ребром линейки.
  • Перед сборкой готового изделия, можно предварительно собрать фигуру, зафиксировав припуски для склеивания кусочками двухстороннего скотча. Этот способ поможет устранить неточности, которые нельзя заметить на чертеже.

Додекаэдр. Развертка для склеивания, распечатки а4, шаблоны

Выбирая упаковочный картон, важно обратить внимание на количество слоев. Не рекомендуется использовать материал состоящий более чем из 4 слоев. Это слишком толстый картон, который будет тяжело резать и сгибать. Также нужно помнить, что чем толщи материл, тем шире должны быть припуски для склеивания. Тонкие полосы не смогут удержать грани на месте. Соединение будет ненадёжным.

Подготовка и вырезание шаблона

Развертка для склеивания додекаэдра, описанная в этом мастер-классе, будет построена без использования шаблона.

Порядок действий:

  1. Подготовить 2 листа картона.
  2. На 1 из листов начертить окружность диаметром 10 см.
  3. Разделить круг на 4 части, проведя через его центр вертикальную и горизонтальную линию.
  4. Точками отметить углы пятиугольника.
  5. Соединить точки между собой, используя линейку.
  6. Проверить, совпадают ли все грани по длине.
  7. От всех сторон пятиугольника начертить еще 5 одинаковых фигур. При этом их стороны должны стать общими со сторонами центрального пятиугольника.
  8. Начертить припуски для склеивания. На верхних гранях они должны располагаться с правой стороны, а на нижних – с левой стороны.
  9. На другом листе начертить еще 1 развертку, повторяя пункты инструкции с 1 по 8.

Вырезать детали канцелярским ножом, прикладывая к чертежу линейку.

Соединение граней

Перед соединением деталей, необходимо сделать надрезы на всех линиях, которые образуют центральную фигуру, а также надрезать линии сгиба припусков на склеивание. Затем нужно подогнуть все грани к центру.

Наносить быстросохнущий клей следует на всю поверхность припусков для склеивания. Соединять детали нужно поочередно, фиксируя место склейки пальцами. Излишки клея нужно убрать. Крупные капли следует оставить до полного высыхания, а затем аккуратно срезать их канцелярским ножом.

Как сделать из бумаги додекаэдр в стиле оригами?

Работа предстоит интересная, но кропотливая и требующая внимания. Для нее понадобится: бумага для заметок (квадратная) – 30 листов разного цвета.

Процесс пошел:

  • Сложите один листик пополам, потом обе получившиеся части-створки откройте поочередно, перегнув их к центральному сгибу. В идеале у вас выйдет гармошка похожая на заглавную букву “М”.

de1f4443c54733e7060a2013153cd863 – Развёртки многогранников

  • Сверните заготовку прямоугольником, положите его перед собой и примните противоположные уголки, чтобы получился ромб.

dd27d89588d65543c42bf684ccfabb45 – Развёртки многогранников

  • Сомните деталь по диагонали от нижнего угла до верхнего и выйдет фигура, напоминающая бумажную лодочку.

3dbc43e77347905b8e0887c8816e9731 – Развёртки многогранников

  • Смастерите таких “лодочек” 30 штук, по числу ребер додекаэдра. В итоге имеете – по 10 заготовок розового, голубого, желтого цвета.

f02afadd52ae5fe9c5c3f1e0693fd6ae – Развёртки многогранников

  • Меньший кончик голубой детали впихните в шов розовой заготовки так, чтобы складки на обеих деталях совпали.

538050cd7235583b6bbf18acde28c986 – Развёртки многогранников

  • Теперь кончик желтой полоски воткните в проем голубой, а кончик розовой – зацепите за желтое звено,  первая вершина готова.

f3f948683cbda44c324cfd092e891565 – Развёртки многогранников

  • Далее – синий кончик заправьте в розовый кармашек, желтую полоску – в синюю и вторая часть верхушки есть.

879ebbfc2e0b51f348ad251ba92e703e – Развёртки многогранников

  • Для упрощения работы начертите плоскую проекцию многогранника, пометив грани цветными фломастерами, и ориентируйтесь на нее при сборке.

b0e05e4148eba95bd3c3e63fd52faf45 – Развёртки многогранников

  • Смонтируйте фигуру, чередуя детали по цвету, затем сожмите ее ладонями, и элементы плотнее встанут на свои места.

Ажурная модель

Существует несколько типов оригами-додекаэдров, но сделать эту прозрачную конструкцию из бумажных модулей проще всего. Хорошее задание для детей, желающих познакомиться с азами пространственной геометрии и взрослых, ищущих эффективное средство для снятия стресса. Желательно использовать для игрушки бумагу ками с рисунком, она придаст особый шарм и колорит.

Пошаговая инструкция:

  1. Для создания кусудамы понадобится 30 одинаковых модулей. Их складывают из прямоугольников, имеющих соотношение сторон 3:4. Например, размером 6х8 см, 9х12 см и так далее. Можно брать как одно-, так и двухсторонние листы.
  2. Складываем каждый прямоугольник пополам вдоль длинной стороны. После чего делаем Z-образный сгиб.
  3. Располагаем получившуюся полоску длинной стороной к себе. Загибаем правый нижний угол вверх. Переворачиваем заготовку на 180°. И повторяем действие для правого нижнего угла (другого).
  4. Складываем фигуру по диагонали, как показано на рис 4.
  5. Модули для додекаэдра-кусудамы готовы.

Детали для додекаэдра

Остаётся соединить их в пространственную композицию. Для этого короткую часть одного модуля вставляем к «карман» длинной части другого. И располагаем так, чтобы внутренние углы и грани обоих элементов совпали.

Сборка додекаэдра - шаг 1

Аналогичный образом добавляем третий модуль, соединяя его с предыдущими двумя и формируя устойчивый конструктивный узел.

Сборка додекаэдра - шаг 2

Продолжаем крепить детали друг к другу, пока не получится объёмная фигура.

Сборка додекаэдра - шаг 3

За счёт необычной бумаги с принтом, получается стильный предмет декора. Чтобы кусудама не распадалась, лучше соединить узловые элементы с помощью клея.

Сборка додекаэдра - шаг 4

Подробная сборка ажурного додекаэдра представлена и в видео-МК:

Как сделать из бумаги додекаэдр – занятные идеи

Модель бумажного додекаэдра используют по-разному, создавая незамысловатые презенты, декоративные украшения, забавные штучки. Например:

  • Обклейте стыки граней додекаэдра мишурой, к верхнему основанию прикрепите яркую ленточку и получите необычную елочную игрушку.
  • Распечатайте выкройку-календарь на год для многогранника или сами напишите на каждой грани календарь на месяц, затем соберите – вот вам и готовый сувенир.
  • Положите при сборке внутрь заготовки немудреную безделушку – подарок сделан.

80e2cb99d23fdeedd56d52ddd6de0be2 – Развёртки многогранников

Если додекаэдр удался, усложните работу. Увеличьте фигуру и украсьте ее грани фотками типа: отпуск в джунглях или офисная вечеринка с прикольными розыгрышами, выйдет здорово.

Интересные факты о додекаэдре

Правильные многогранники с древних времен восхищали человечество и служили прообразом мирового устройства. Как оказалось, подобные представления небезосновательны. В 2003 году, анализируя данные исследовательского аппарата WMAP, запущенного NASA для изучения фоновых космических излучений, учёные выдвинули гипотезу о додекаэдрическом строении Вселенной по принципу сферы Пуанкаре.

Нечто подобное предполагал и живший в V в. до н. э. древнегреческий философ Платон. В своём учении о классических стихиях, он назвал додекаэдр «образцом божественного устройства Космоса». Вообще же все пять известных правильных многогранников до сих пор называют Платоновыми телами, по имени мыслителя, впервые выстроившего с их помощью чёткую картину мироздания.

Пентагон, лежащий в основе додекаэдра, построен на принципах «золотого сечения». Эта пропорция, которую древние греки считали «божественной» часто встречается в природе. Интересно, что соотношения «золотого сечения» присущи лишь додекаэдру и икосаэдру, у трёх других Платоновых тел его нет.

Современное использование додекаэдра

В настоящее время геометрические объекты в форме додекаэдра находят применение в некоторых сферах деятельности человека:

Игральные кости для настольных игр. Так как додекаэдр – это платоновская фигура, обладающая высокой симметрией, то объекты этой формы можно использовать в играх, где продолжение событий имеет вероятностный характер. Игральные кости в своем большинстве изготавливают кубической формы, поскольку их сделать проще всего, однако современные игры становятся все сложнее и разнообразнее, а значит, требуют костей с большим количеством возможностей. Кости в форме додекаэдра применяются в ролевой настольной игре Dungeons and Dragons. Особенностью этих костей является то, что сумма цифр, расположенных на противоположных гранях, всегда равна 13.

Что такое фигура Додекаэдр, как получила свое название и почему является символом Вселенной

Источники звука. Современные звуковые колонки часто изготавливают в форме додекаэдра, поскольку они распространяют звук во всех направлениях и защищают его от окружающего шума.

Что такое фигура Додекаэдр, как получила свое название и почему является символом Вселенной

Где же можно встретить додекаэдр? Подумайте хорошенько! Наверное почти все видели его в качестве генератора случайных чисел, например, по телевизору в игре лото или в настольных ролевых играх. Додекаэдр можно встретить в игре «Пентакор», мир которого представлен в виде этой фигуры. И, конечно же все слышали про Пентагон, это здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.

В августе 2006 года при нанесении на карты распределения тёмной материи в скоплении галактик, были сделаны выводы, что наша Вселенная выглядит как набор бесконечно повторяющихся додекаэдров.

Правильные многогранники всегда привлекали совершенством своих форм, полной, казалось бы, невозможной симметричностью. Некоторые из таких тел встречаются в природе, например в виде кристаллов, другие — могут быть в виде вирусов или простейших микроорганизмов.

Что такое фигура Додекаэдр, как получила свое название и почему является символом Вселенной

  1. Слева Вирус полиомиелита имеет также форму додекаэдра. Живет, и размножаться только в клетках человека и приматов
  2. Справа Кристалл пирита (сернистый колчедан) — это природная модель додекаэдра

Развертка додекаэдра из бумаги или из картона

Схема правильного додекаэдра Схема додекаэдра с формулами Схема додекаэдра с великими открытиями человечества
Додекаэдр правильный Додекаэдр с формулами Додекаэдр
JPG JPG JPG
Схема додекаэдра с календарем на 2013 год Схема додекаэдра с героями мультиков
Додекаэдр с календарем Додекаэдр с героями
JPG JPG

 

Источники
  • https://mathematics-tests.com/razvertka-dodekaedra-kak-sdelat-is-bumagi
  • https://ab.al-shell.ru/articles/dodekaedr-iz-treugolnikov-kak-sdelat
  • https://handsmake.ru/dodekaedr-razvertka-dlya-skleivaniya.html
  • https://sovetclub.ru/kak-sdelat-iz-bumagi-dodekaedr
  • https://all-origami.ru/origami-dodekaedr/
  • https://nlo-mir.ru/chudesa-nauki/dodekajedr.html

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Официальный сайт "Очумелые ручки" - блог и книги для умельцев